Question

17．设函数f（x）=-sin²x-$\sqrt{3}sinxcosx+\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及值域；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=0，a=$\sqrt{3}$，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用三角函数的恒等变换把函数的关系式转化成余弦型函数，进一步求出函数的周期和值域．
（Ⅱ）利用函数的关系式，进一步求出A的大小，最后利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=-{sin^2}x-\sqrt{3}sinxcosx+\frac{3}{2}$
=$cos（{2x+\frac{π}{3}}）+1$…（3分）
所以f（x）的最小正周期为T=π…（4分）
∵x∈R
∴$-1≤cos（{2x+\frac{π}{3}}）≤1$，
故f（x）的值域为[0，2]…（6分）
（Ⅱ）由$f（A）=cos（{2A+\frac{π}{3}}）+1=0$
得$cos（2A+\frac{π}{3}）=-1$，
又A∈（0，π），
得$A=\frac{π}{3}$…（8分）
由余弦定理，得
${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$
=（b+c）²-3bc，
又$a=\sqrt{3}$，b+c=3，
所以3=9-3bc，
解得bc=2…（10分）
所以：${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$…（12分）

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，即周期性和值域的应用，余弦定理的应用和三角形面积的应用．