Question

2．当0＜x＜a时，不等式$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$≥4恒成立，则a的取值范围为（0，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 设f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$，（0＜x＜a），由题意可得4≤f（x）_min对0＜x＜a成立．求出f（x）的导数，求得单调区间和极小值，也为最小值，解出不等式即可得到a的范围．

解答 解：设f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$，（0＜x＜a），
由题意可得4≤f（x）_min对0＜x＜a成立．
由f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{3}}$+$\frac{2}{（a-x）^{3}}$=$\frac{2（2x-a）[{x}^{2}+x（a-x）+（a-x）^{2}]}{{x}^{3}（a-x）^{3}}$，
当0＜x＜$\frac{a}{2}$时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当$\frac{a}{2}$＜x＜a时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有x=$\frac{a}{2}$处f（x）取得极小值，也为最小值，且为$\frac{8}{{a}^{2}}$．
则$\frac{8}{{a}^{2}}$≥4，
解得0＜a≤$\sqrt{2}$．
故答案为：（0，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，同时考查运用导数求最值的方法，考查运算能力，属于中档题．