Question

10．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x-1）²+（y-1）²=2，直线l的倾斜角为45°且经过点P（-1，0）
（Ⅰ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于两点A，B，求|PA|²+|PB|²的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接把直角坐标方程转化成极坐标方程．
（Ⅱ）利用直线和圆的关系建立一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果．

解答 解：（I）将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入（x-1）²+（y-1）²=2，化简得，
曲线C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$    …（5分）
（II）因为直线l的倾斜角为45°且经过点P（-1，0），
所以直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}\right.$，代入（x-1）²+（y-1）²=2，
整理得：$（\frac{\sqrt{2}}{2}t-2）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}t-1）^{2}=2$
化简得，${t}^{2}-3\sqrt{2}t+3=0$，
所以${t}_{1}+{t}_{2}=3\sqrt{2}$，t₁•t₂=3，
故|PA|²+|PB|²
=${t}_{1}^{2}+{{t}_{2}}^{2}={（t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}$
=12．…（10分）

点评 本题考查的知识要点：参数方程与直角坐标方程的转化，及直角坐标方程与极坐标方程的转化，一元二次方程根和系数的关系，及相关的运算问题．