Question

20．如图，P是⊙O的直径CB的延长线上的点，PA与⊙O相切于点A，点D在⊙O上，∠BAD=∠APC，BC=40，PB=5
（Ⅰ）求证：tan∠ABC=3；
（Ⅱ）求AD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，利用切割线定理求PA，证明△ACP∽△BAP，即可证明tan∠ABC=3；
（Ⅱ）连接BD，证明△ACP∽△BDA，可得AD=$\frac{AB•PC}{AP}$=3AB，结合勾股定理，即可求AD的值．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC，
∵P是⊙O的直径CB的延长线上的点，PA与⊙O相切于点A，
∴PA²=PB•PC=PB（PB+BC）=225，
∴PA=15，
在△ACP和△BAP中，∵∠ACP=∠BAP，∠APC=∠BPA，
∴△ACP∽△BAP，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{BP}$=3，
∵AC⊥AB，
∴tan∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=3；
（Ⅱ）解：连接BD，则
在△ACP与△BDA中，
∵∠ACP=∠BDA，∠APC=∠BAD，
∴△ACP∽△BDA，
∴$\frac{AD}{PC}=\frac{AB}{AP}$，
∴AD=$\frac{AB•PC}{AP}$=3AB，
∵AC⊥AB，$\frac{AC}{AB}$=3，
∴AC²+AB²=BC²=1600，
∴AB=4$\sqrt{10}$，
∴AD=12$\sqrt{10}$．

点评 本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．