Question

15．在复数平面内，复数Z₁在连接1+i和1-i的线段上移动，设复数Z₂在以圆点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数Z₁+Z₂在复平面上移动的面积．

Answer 1

分析 如图所示，设A（1，1），B（1，-1），$\overrightarrow{OP}$对应的复数为Z₁=1+bi（-1≤b≤1）.$\overrightarrow{OQ}$对应的复数为Z₂=cosθ+isinθ（θ∈[0，2π））．则复数Z₁+Z₂对应的复数为（1+cosθ）+（b+sinθ）i．利用实部与虚部的范围即可得出复数Z₁+Z₂在复平面上移动的面积S为四边形EFGH的面积．

解答 解：如图所示，
设A（1，1），B（1，-1），$\overrightarrow{OP}$对应的复数为Z₁=1+bi（-1≤b≤1）．
$\overrightarrow{OQ}$对应的复数为Z₂=cosθ+isinθ（θ∈[0，2π））．
则复数Z₁+Z₂对应的复数为（1+cosθ）+（b+sinθ）i．
则1+cosθ∈[-1，2]，（b+sinθ）∈[-2，2]．
则复数Z₁+Z₂在复平面上移动的面积S为四边形EFGH的面积=$\frac{1}{2}|GE||FH|$=$\frac{1}{2}×3×4$=6．

点评 本题考查了复数的运算法则、几何意义、四边形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．