Question

6．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴简历极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）将半圆C化为参数方程；
（2）已知直线l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+6，点M在半圆C上，过点M斜率为-1直线与l交于点Q，当|MQ|最小值时，求M的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步转化成参数方程，注意参数的取值范围．
（2）利用点一直线的位置关系，建立最值成立的条件，进一步求出结论．

解答 解：（1）半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
转化成直角坐标方程为：x²+y²-4y=0（0≤x≤2）
再把半圆C化为参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}\right.$（α为参数，$-\frac{π}{2}$$≤α≤\frac{π}{2}$），
（2）设M到l的距离为d，则：|MQ|=$\frac{d}{sin15°}$，
所以：|MQ|取最小值时，仅当d最小，故半圆C在M处的切线与直线l平行，
由CM⊥l，又l的倾斜角为$\frac{5π}{6}$，
所以：点M对应的参数为：$α=\frac{π}{3}$
则：点M对应的点的坐标为（1，2+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线的平行问题，