Question

16．函数f（x）=x²-4xsin$\frac{πx}{2}$+1（x∈R）的零点的个数为4．

Answer 1

分析 显然0不是函数f（x）=x²-4xsin$\frac{πx}{2}$+1的零点，故化为函数y=4sin$\frac{πx}{2}$与y=x+$\frac{1}{x}$的图象的交点的个数；作函数图象求解即可．

解答 解：显然0不是函数f（x）=x²-4xsin$\frac{πx}{2}$+1的零点，
故f（x）=x²-4xsin$\frac{πx}{2}$+1=0可化为4sin$\frac{πx}{2}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$；
故可化为函数y=4sin$\frac{πx}{2}$与y=x+$\frac{1}{x}$的图象的交点的个数；
作函数y=4sin$\frac{πx}{2}$与y=x+$\frac{1}{x}$的图象如下，

由图象可知，有4个交点；
故答案为：4．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根及函数的图象的交点的关系应用，同时考查了学生作图与用图的能力，属于基础题．