某同学在生物研究性学习中.对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行观测研究.于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究.且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数.得到如下资料:日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/°C101113128发芽数y/颗2325302616(Ⅰ)请根据4月7日.4月15日.4月21日三天的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行观测研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日期	4月1日	4月7日	4月15日	4月21日	4月30日
温差x/°C	10	11	13	12	8
发芽数y/颗	23	25	30	26	16

（Ⅰ）请根据4月7日、4月15日、4月21日三天的数据，求出y关于x的线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据作为检验数据，试问（I）中所得的线性回归方程是否可靠？
（Ⅲ）以这5天的观测数据来估计总体，在4月份任取3天，求恰有2天每100颗种子浸泡后的发芽数在[25，30]内的概率．
参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$；
参考数据：11×25+13×30+12×26=977，11²+13²+12²=434．

分析（I）求出y关于x的线性回归方程的相关数值即可求出y关于x的线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）当x=10时，$\hat y=22$，|22-23|＜2，当x=8时，$\hat y=17$，|17-16|＜2，可得结论；
（III）由5天的观测数据估计，4月份的30天中，发芽数在[25，30]的天数$30×\frac{3}{5}=18$，即可求出恰有2天每100颗种子浸泡后的发芽数在[25，30]的概率．

解答解：（I）由数据得$\overline x=12，\overline y=27$，$3\overline x\overline y=972$，$3{\overline x^2}=432$，
又$\sum_{i=1}^3{{x_i}{y_i}}=977$，$\sum_{i=1}^3{{x_i}^2}=434$，∴$\hat b=\frac{977-972}{434-432}=\frac{5}{2}$，$\hat a=27-\frac{5}{2}×12=-3$．
∴y关于x的线性回归方程为$\hat y=\frac{5}{2}x-3$；…（4分）
（II）当x=10时，$\hat y=22$，|22-23|＜2，当x=8时，$\hat y=17$，|17-16|＜2，
∴得到的线性回归方程是可靠的．…（8分）
（III）任每天100颗种子浸泡后的发芽数在[25，30]的概率是$\frac{3}{5}$，
∴由5天的观测数据估计，4月份的30天中，发芽数在[25，30]的天数$30×\frac{3}{5}=18$，
∴恰有2天每100颗种子浸泡后的发芽数在[25，30]的概率是$\frac{{C_{18}^2C_{12}^1}}{{C_{30}^3}}=\frac{459}{1015}$． …（12分）

点评本题考查概率的求法，回归直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题．

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