Question

5．已知曲线y=x²过点P的切线与曲线y=-2x²-1相切，求P点坐标．

Answer 1

分析 先设P（x₀，y₀），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x₀处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式求出切线方程，根据此直线与曲线y=-2x²-1相切，转化成方程2x²+2x₀x+1-x₀²=0只有一解，然后利用判别式为0，进行求解即可．

解答 解：设P（x₀，y₀），y=x²的导数为y′=2x，
由题意知曲线y=x²在P点的切线斜率为k=2x₀，
切线方程为y=2x₀x-x₀²，而此直线与曲线y=-2x²-1相切，
∴切线与曲线只有一个交点，
即方程2x²+2x₀x+1-x₀²=0的判别式△=4x₀²-2×4×（1-x₀²）=0．
解得x₀=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，y₀=$\frac{2}{3}$．
则P的坐标为（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3}$）或（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及直线与二次函数相切的条件，属于中档题．