Question

16．已知x，y满足方程x²-y-1=0，当x＞$\sqrt{3}$时，则m=$\frac{3x+y-5}{x-1}+\frac{x+3y-7}{y-2}$的最小值为8．

Answer 1

分析 化简m=$\frac{3x+y-5}{x-1}+\frac{x+3y-7}{y-2}$=$\frac{y-2}{x-1}$+$\frac{x-1}{y-2}$+6，作函数y=x²-1，并作出点（1，2）；$\frac{y-2}{x-1}$的几何意义是函数y=x²-1的点与点（1，2）的连线所成直线的斜率；从而可得$\frac{y-2}{x-1}$＞0，从而由基本不等式求最小值即可．

解答 解：m=$\frac{3x+y-5}{x-1}+\frac{x+3y-7}{y-2}$
=3+$\frac{y-2}{x-1}$+3+$\frac{x-1}{y-2}$
=$\frac{y-2}{x-1}$+$\frac{x-1}{y-2}$+6，
由x²-y-1=0得y=x²-1，
作函数y=x²-1，并作出点（1，2）；
$\frac{y-2}{x-1}$的几何意义是函数y=x²-1的点与点（1，2）的连线所成直线的斜率；
结合图象可得，
$\frac{y-2}{x-1}$＞$\frac{3-1-2}{\sqrt{3}-1}$=0；
故$\frac{y-2}{x-1}$+$\frac{x-1}{y-2}$+6
≥2$\sqrt{\frac{y-2}{x-1}•\frac{x-1}{y-2}}$+6=8；
（当且仅当$\frac{y-2}{x-1}$=$\frac{x-1}{y-2}$时，等号成立）；
故答案为：8．

点评 本题考查了函数的化简及学生作图的能力，同时考查了基本不等式的应用，属于难题．