Question

6．已知抛物线Γ：y²=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M、N两点，且|MN|=4．
（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；
（Ⅱ）若点P是抛物线Γ上的动点，点B、C在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线的焦点，设出直线MN的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得p=1，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c）不妨设b＞c，直线PB的方程为y-b=$\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$x，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，结合韦达定理，以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值．

解答 解：（Ⅰ）抛物线Γ：y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
则过点F且斜率为1的直线方程为y=x-$\frac{p}{2}$，
联立抛物线方程y²=2px，
消去y得：x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 x₁+x₂=3p，
由抛物线的定义可得，|MN|=x₁+x₂+p=4p=4，解得p=1．
所以抛物线Γ的方程为y²=2x；  
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c）不妨设b＞c，
直线PB的方程为y-b=$\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$x，
化简得（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，又圆心（1，0）到直线PB的距离为1，
故$\frac{|{y}_{0}-b+{x}_{0}b|}{\sqrt{（{y}_{0}-b）^{2}+（-{x}_{0}）^{2}}}$=1，即（y₀-b）²+x₀²=（y₀-b）²+2x₀b（y₀-b）+x₀²b²，
不难发现x₀＞2，上式又可化为（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理有（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
所以b，c可以看做关于t的一元二次方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的两个实数根，
则b+c=$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，bc=$\frac{-{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
所以（b-c）²=（b+c）²-4bc=$\frac{4（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-2{x}_{0}）}{（{x}_{0}-2）^{2}}$，
因为点P（x₀，y₀）是抛物线Γ上的动点，所以y₀²=2x₀，
则（b-c）²=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}$，
又x₀＞2，所以b-c=$\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$．
所以S_△PBC=$\frac{1}{2}$（b-c）x₀=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}-2}$=x₀-2+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥2$\sqrt{（{x}_{0}-2）•\frac{4}{{x}_{0}-2}}$+4=8，
当且仅当x₀=4时取等号，此时y₀=±2$\sqrt{2}$，
所以△PBC面积的最小值为8．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：d=r，以及基本不等式的运用，属于中档题．