Question

16．已知f（x）=log₂$\frac{x+2}{x-2}$，g（x）=log₂（x-2）+log₂（p-x）（p＞2），
（1）求f（x），g（x）同时有意义的实数x的取值范围；
（2）求F（x）=f（x）+g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+2}{x-2}＞0}\\{x-2＞0}\\{p-x＞0}\end{array}\right.$，由此求得使f（x），g（x）同时有意义的实数x的取值范围．
（2）令t（x）=（x+2）（p-x），2＜x＜p，则F（x）=log₂t（x），求得t的值域，可得F（x）的值域．

解答 解：（1）根据f（x）=log₂$\frac{x+2}{x-2}$，g（x）=log₂（x-2）+log₂（p-x）（p＞2），
可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+2}{x-2}＞0}\\{x-2＞0}\\{p-x＞0}\end{array}\right.$，求得2＜x＜p，故f（x），g（x）同时有意义的实数x的取值范围是（2，p）．
（2）令F（x）=f（x）+g（x）=log₂（x+2）（p-x），
令t（x）=（x+2）（p-x），2＜x＜p，则F（x）=log₂t（x），且0＜t（x）≤t（$\frac{p-2}{2}$）=${（\frac{p+2}{2}）}^{2}$．
∴F（x）≤log₂ ${（\frac{p+2}{2}）}^{2}$=2log₂$\frac{p+2}{2}$=2log₂（p+2）-2，即F（x）的值域为（-∞，2log₂（p+2）-2）．

点评 本题主要考查对数函数的图象和性质，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．