Question

1．如图，O是边长为2的等边△ABC的中心，动点E在边AC上运动，F在边AB及BC上运动，则$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{EF}$的取值范围是[0，2]．

Answer 1

分析 根据已知条件建立以O为原点，x轴平行于AB，y轴垂直于AB的直角坐标系，求出向量$\overrightarrow{OB}=（1，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$，求出直线AC，BC的方程，从而设E（${x}_{1}，\sqrt{3}{x}_{1}+\frac{2\sqrt{3}}{3}$），-1≤x₁≤0．讨论F在边AB上时，设出F（${x}_{2}，-\frac{\sqrt{3}}{3}$），-1≤x₂≤1，从而求出向量$\overrightarrow{EF}$的坐标，求出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}={x}_{2}+1$，而0≤x₂+1≤2；同样的办法求出点F在边BC上时$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}$的范围，这两种情况下的范围求并集即可．

解答 解：如图，以O为原点，平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：
根据已知条件，能确定以下几点坐标：
A（-1，$-\frac{\sqrt{3}}{3}$），B（1，$-\frac{\sqrt{3}}{3}$），C（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
∴直线AC的方程为y=$\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，直线BC的方程为$y=-\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\overrightarrow{OB}=（1，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$；
∴可设E（${x}_{1}，\sqrt{3}{x}_{1}+\frac{2\sqrt{3}}{3}$），-1≤x₁≤0；
（1）若F在边AB上，则设F（${x}_{2}，-\frac{\sqrt{3}}{3}$），-1≤x₂≤1；
∴$\overrightarrow{EF}=（{x}_{2}-{x}_{1}，-\sqrt{3}{x}_{1}-\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}={x}_{2}+1$；
∴此时$0≤\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}≤2$；
（2）若F在边BC上，则设F（${x}_{3}，-\sqrt{3}{x}_{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}$），0≤x₃≤1；
∴$\overrightarrow{EF}=（{x}_{3}-{x}_{1}，-\sqrt{3}{x}_{3}-\sqrt{3}{x}_{1}）$；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}=2{x}_{3}$；
∴此时$0≤\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}≤2$；
∴综上得$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}$的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．

点评 考查对等边三角形中心的认识，建立平面直角坐标系解决问题的方法，两点坐标确定直线的方程，由点的坐标求向量坐标，向量数量积的坐标运算．