Question

13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，cosC=-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，a=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求$cos（2A+\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，再利用正弦定理求得c的值，应用余弦定理求得b的值．
（Ⅱ）由于$cosC=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}＜0$可得A为锐角，求出cosA的值，再利用二倍角公式求得cos2A、sin2A的值，可得$cos（2A+\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，$cosC=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，∴$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
根据$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$，得$c=sinC\frac{a}{sinA}=2a=2\sqrt{5}$．
根据c²=a²+b²-2abcosC，以及$a=\sqrt{5}$，$c=2\sqrt{5}$可得b²+2b-15=0，解得b=3，b=-5（舍）．
（Ⅱ）由于$cosC=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}＜0$，知A为锐角，所以$cosA=\sqrt{1-{{sin}^2}A}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
从而$sin2A=2sinAcosA=\frac{4}{5}$，$cos2A=1-2{sin^2}A=\frac{3}{5}$，
∴$cos（2A+\frac{π}{3}）=cos2Acos\frac{π}{3}-sin2Asin\frac{π}{3}$=$\frac{{3-4\sqrt{3}}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式、两角和的余弦公式，属于中档题．