Question

11．在△ABC中，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=0$，点M在BC边上，且满足$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MC}$，则cos∠MAB的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据已知条件知AC⊥BC，并且$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$，∠MAB是向量$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AB}$的夹角，所以根据向量夹角的余弦公式即可得到cos∠MAB=$\frac{{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{CB}}^{2}}{\sqrt{{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{1}{9}{\overrightarrow{CB}}^{2}}•|\overrightarrow{AB}|}$，而根据${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{CB}}^{2}={\overrightarrow{AB}}^{2}$，设|$\overrightarrow{AC}$|=$|\overrightarrow{AB}|sinθ，|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{AB}|cosθ$，带入上式即可得到cos∠MAB=$\frac{1}{4}\sqrt{1+8si{n}^{2}θ}+\frac{3}{4\sqrt{1+8si{n}^{2}θ}}$，所以由基本不等式即可求得cos∠MAB的最小值．

解答 解：如图，
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=0$；
∴AC⊥BC；
∵$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MC}$；
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}$；
∠MAB是向量$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AB}$的夹角；
∴cos∠MAB=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{（\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}）•（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}）}{\sqrt{（\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}）^{2}}•\sqrt{（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}）^{2}}}$=$\frac{{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{CB}}^{2}}{\sqrt{{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{1}{9}{\overrightarrow{CB}}^{2}}•|\overrightarrow{AB}|}$；
∵${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{CB}}^{2}={\overrightarrow{AB}}^{2}$；
∴设$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}|sinθ$，$|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{AB}|cosθ$（$0＜θ＜\frac{π}{2}$）；
∴cos∠MAB=$\frac{si{n}^{2}θ+\frac{1}{3}co{s}^{2}θ}{\sqrt{si{n}^{2}θ+\frac{1}{9}co{s}^{2}θ}}$=$\frac{1+2si{n}^{2}θ}{\sqrt{1+8si{n}^{2}θ}}$=$\frac{1+\frac{1}{4}（8si{n}^{2}θ+1）-\frac{1}{4}}{\sqrt{1+8si{n}^{2}θ}}$
=$\frac{3}{4\sqrt{1+8si{n}^{2}θ}}+\frac{1}{4}\sqrt{1+8si{n}^{2}θ}$$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，当$θ=\frac{π}{6}$时取“=”
∴cos∠MAB的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 考查两非零向量垂直的充要条件，直角三角形边的关系，向量加法的几何意义，数乘的几何意义，数量积的运算，求向量$\overrightarrow{a}$的长度：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$，两向量夹角的余弦公式，以及基本不等式求最值．