Question

1．已知P、A、B、C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P-ABC的体积为$\frac{9}{4}$$\sqrt{3}$，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为16π．

Answer 1

分析 设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=$\frac{3}{4}$R，再由三棱锥P-ABC的体积为$\frac{9}{4}$$\sqrt{3}$，求出R=2，由此能求出球O的表面积．

解答 解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，
设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，
∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，
OB=OP=R，
∴OS=$\frac{R}{2}$，BS=$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$=$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，解得a=$\frac{3}{4}$R，2a=$\frac{3}{2}$R，
∵三棱锥P-ABC的体积为$\frac{9}{4}\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}R×\frac{3}{2}Rsin60°×\frac{3}{2}R$=$\frac{9}{4}\sqrt{3}$，
解得R=2，
∴球O的表面积S=4πR²=16π．
故答案为：16π．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时确定球O的半径是关键．