Question

3．若正数项数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂=3，且数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₂，a₅恰为等比数列{b_n}的前两项，且数列{2b_n}的前m项和T_m为3²⁰¹⁵-3，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等差数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的首项和公差，求出其通项公式，然后利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）中的通项公式求得a₅，得到等比数列的公比，然后求出数列{2b_n}的前m项和得答案．

解答 解：（1）∵a₁=1，a₂=3，∴$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}=1$，$\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}=\sqrt{1+3}=2$，
∴数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的公差d=2-1=1，
∴$\sqrt{{S}_{n}}=\sqrt{{S}_{1}}+1×（n-1）=1+n-1=n$，
即${S}_{n}={n}^{2}$．
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}-（n-1）^{2}=2n-1$，
n=1适合上式，
∴a_n=2n-1；
（2）a₂=3，a₅=2×5-1=9，
∴等比数列{b_n}的公比q=3，
则${b}_{n}={b}_{1}{q}^{n-1}=3×{3}^{n-1}={3}^{n}$，
∴数列{2b_n}的前m项和T_m=$2×\frac{3（1-{3}^{m}）}{1-3}={3}^{m+1}-3$，
由3^m+1-3=3²⁰¹⁵-3，得m=2014．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题．