Question

5．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=$\frac{π}{4}$，AB边上的高为$\frac{c}{2}$，则$\frac{a^2+b^2}{ab}$=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据AB及边上的高表示出三角形面积，再利用三角形面积公式表示出三角形面积，两者相等得到c²=$\sqrt{2}$ab，利用余弦定理表示出cosC，把cosC及c²=$\sqrt{2}$ab代入，整理即可求出所求式子的值．

解答 解：∵C=$\frac{π}{4}$，AB边上的高为$\frac{c}{2}$，
∴S_△ABC=c•$\frac{c}{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$absinC，即$\frac{{c}^{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ab，
整理得：c²=$\sqrt{2}$ab，
由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-\sqrt{2}ab}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2ab}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$

点评 此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．