Question

15．已知x＞1，求函数y=$\frac{x-1}{{x}^{2}-5x+8}$的最大值．

Answer 1

分析 化简函数y=$\frac{x-1}{{x}^{2}-5x+8}$=$\frac{1}{（x-1）+\frac{4}{（x-1）}-3}$，再借助基本不等式求函数的最大值即可．

解答 解：y=$\frac{x-1}{{x}^{2}-5x+8}$
=$\frac{x-1}{（x-1）^{2}-3（x-1）+4}$
=$\frac{1}{（x-1）+\frac{4}{（x-1）}-3}$；
∵x＞1，
∴（x-1）+$\frac{4}{x-1}$≥4，
（当且仅当（x-1）=$\frac{4}{x-1}$，即x=3时，等号成立）
故0＜$\frac{1}{（x-1）+\frac{4}{（x-1）}-3}$≤1；
故函数y=$\frac{x-1}{{x}^{2}-5x+8}$的最大值为1．

点评 本题考查了函数的最值的求法，同时考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．