Question

18．设数列{a_n}的前n项和是S_n，数列{S_n}的前n项乘积为T_n，且S_n+T_n=1，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}中最接近2015的项是（　　）

• A． 第43项
• B． 第44项
• C． 第45项
• D． 第46项

Answer 1

分析 先推导出S_n=$\frac{n}{n+1}$，从而得到a_n=S_n-S_n-1，所以$\frac{1}{{a}_{n}}=n（n+1）$，再计算出近似值即可．

解答 解：当n=1时，S₁+T₁=1，即S₁=$\frac{1}{2}$，
当n=2时，S₂+S₁S₂=1，即${S}_{2}=\frac{2}{3}$，
当n=3时，S₃+S₁S₂S₃=1，即${S}_{3}=\frac{3}{4}$，
…
猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，
所以a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，所以$\frac{1}{{a}_{n}}=n（n+1）$，
所以数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}中最接近2015的项是$\frac{1}{{a}_{44}}$=44×45=1980，
故选：B．

点评 本题考查数列的通项公式，注意解题方法的积累，属于中档题．