Question

7．设函数f（x）=a+|$\frac{{x}^{2}1}{x}$|-2${\;}^{|lo{g}_{2}x|}$，若x$∈[\frac{1}{2}，4]$时，f（x）≤0恒成立，则a的取值范围为$a≤\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 将恒等式变形，得a≤f（x）在x$∈[\frac{1}{2}，4]$时恒成立，其中f（x）=$-|x-\frac{1}{x}|+{2}^{|lo{g}_{2}x|}$，画出其图象即可．

解答 解：根据题意，当x$∈[\frac{1}{2}，4]$时，f（x）≤0恒成立，
即不等式a≤$-|x-\frac{1}{x}|+{2}^{|lo{g}_{2}x|}$在x$∈[\frac{1}{2}，4]$时恒成立，
而函数f（x）=$-|x-\frac{1}{x}|+{2}^{|lo{g}_{2}x|}$的图象如右图，
所以f（x）在x$∈[\frac{1}{2}，4]$上的最小值为$\frac{1}{4}$，
故答案为：$a≤\frac{1}{4}$．

点评 本题考查函数的最值问题，对不等式变形、构造新函数并研究新函数的值域是解题的关键，属于中档题．