Question

16．已知抛物线y²=4x与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A，B是两曲线的交点，O为坐标原点，若（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{AF}$=0，则双曲线的实轴长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$+2
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． 2$\sqrt{2}$-1
• D． 2$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，即有双曲线的c=1，运用数量积为0，得到AF⊥x轴，可得A（1，2），再由双曲线的定义可得实轴长．

解答 解：由抛物线y²=4x的焦点F（1，0）
即有双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的c=1，
若（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{AF}$=0，
则AF⊥x轴．设A点在第一象限，则A点坐标为（1，2）
设左焦点为F'，则|FF'|=2，由勾股定理得|AF'|=2$\sqrt{2}$，
由双曲线的定义可知2a=|AF'|-|AF|=2$\sqrt{2}$-2．
故选：D．

点评 本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查双曲线的定义的运用，同时考查向量垂直的条件，属于基础题．