Question

5．设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”，设函数f（x）=lnx与g（x）=$\frac{mx-1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [e-1，2]
• B． [e-2，2]
• C． [$\frac{1}{e}$-e，1+e]
• D． [1-e，1+e]

Answer 1

分析 由题意知|lnx+$\frac{1}{x}$-m|≤1，变形得m-1≤lnx+$\frac{1}{x}$≤m+1，令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$ （$\frac{1}{e}≤x≤e$），则问题转化为函数h（x）的值在[m-1，m+1]，对函数h（x）求导即可得h（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最值情况，对比后即可答案．

解答 解：∵函数f（x）=lnx与g（x）=$\frac{mx-1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上是“密切函数”，
∴对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，
即|lnx+$\frac{1}{x}$-m|≤1，从而m-1≤lnx+$\frac{1}{x}$≤m+1，
令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$ （$\frac{1}{e}≤x≤e$），则h′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
从而当x＞1时，h′（x）＞0；当x＜1时，h′（x）＜0；
当x=1时，h（x）取极小值，也就是最小值，
故h（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值为1，最大值为e-1，
所以m-1≤1且m+1≥e-1，
从而e-2≤m≤2，
故选：B．

点评 本题考查新定义函数，其本质仍是通过变形，求导讨论函数的单调性，属于中档题．