Question

15．已知抛物线y²=2px（p＞0）焦点为F，抛物线上横坐标为$\frac{1}{2}$的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设过点P（6，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定抛物线上横坐标为$\frac{1}{2}$的点的坐标为（$\frac{1}{2}$，$±\sqrt{p}$），利用抛物线上横坐标为$\frac{1}{2}$的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=my+6，代入y²=4x得，y²-4my-24=0，利用以AB为直径的圆过点F，可得FA⊥FB，即$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=0，可得：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）抛物线上横坐标为$\frac{1}{2}$的点的坐标为（$\frac{1}{2}$，$±\sqrt{p}$），到抛物线顶点的距离的平方为$\frac{1}{4}+p$，
∵抛物线上横坐标为$\frac{1}{2}$的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，
∴$\frac{1}{4}+p$=（$\frac{1}{2}$+$\frac{p}{2}$）²，
∴p=2
抛物线的方程为：y²=4x．…（6分）
（Ⅱ）由题意可知，直线l不垂直于y轴
可设直线l：x=my+6，代入y²=4x得，y²-4my-24=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-24，
∵以AB为直径的圆过点F，∴FA⊥FB，即$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=0
可得：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0
∴（1+m²）y₁y₂+5m（y₁+y₂）+25=0
∴-24（1+m²）+20m²+25=0，
解得：m=±$\frac{1}{2}$，
∴直线l：x=±$\frac{1}{2}$y+6，即l：2x±y-12=0．…（15分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．