Question

6．已知各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=c，2S_n=a_na_n+1-6，问数列{a_n}能否为等差数列？若能，求出c满足的条件；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 由题意可得a₁=c可知a₂=2+$\frac{6}{c}$，又可得n≥2时a_n+1-a_n-1=2，要使{a_n}为等差数列需a₂-a₁=1，解关于c的方程验证可得．

解答 解：由题意可得当n=1时，2a₁=a₁a₂-6，
由a₁=c可知a₂=2+$\frac{6}{c}$；
当n≥2时，由2S_n=a_na_n+1-6可得2S_n-1=a_n-1a_n-6，
两式相减可得2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1）．∴a_n+1-a_n-1=2
要使{a_n}为等差数列需a₂-a₁=1，即2+$\frac{6}{c}$-c=1
解得c=3或c=-2，
当c=-2时，a₃=0，不合题意，舍去，
∴当且仅当c=3时，数列{a_n}为等差数列．

点评 本题考查等差数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属基础题．