Question

11．已知$\frac{2+\frac{1}{ta{n}^{2}θ}}{1+sinθ}$=1，求证：（1+sin θ ）（2+cosθ ）=4．

Answer 1

分析 将已知等式化弦变形，得：1+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$=sinθ，从而解得sinθ，cosθ，将其代入所要证明的式子证明等式左边等于右边即可．

解答 证明：已知等式化弦变形，得：1+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$=sinθ，
两边乘以sin²θ，得：sin²θ+cos²θ=sin³θ．
所以解得：sinθ=1，cosθ=0．
将其代入所要证明的式子，有：
（1+sinθ）（2+cosθ）
=（1+1）（2+0）
=4
即：（1+sinθ）（2+cosθ）=4．故得证．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，三角函数恒等式的证明，属于基本知识的考查．