Question

19．在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，BC=3，∠ABC=60°，PA=2，求$\overrightarrow{PB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影．

Answer 1

分析 把四棱锥P-ABCD补成直四棱柱PB′C′D′-ABCD，$\overrightarrow{PB}$在$\overrightarrow{PC′}$上的投影即为$\overrightarrow{PB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影，由勾股定理和余弦定理可得|$\overrightarrow{PB}$|和cos∠BPC′的值，由投影的定义相乘可得．

解答 解：由题意把四棱锥P-ABCD补成直四棱柱PB′C′D′-ABCD，（如图）
∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{PC′}$，∴$\overrightarrow{PB}$在$\overrightarrow{PC′}$上的投影即为$\overrightarrow{PB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影，
由题意和勾股定理|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由余弦定理可得|$\overrightarrow{AC}$|²=1²+3²-2×1×3×cos60°=7，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{7}$，再由勾股定理可得|BC′|=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
在△PBC′中由余弦定理可得cos∠BPC′=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{7}）^{2}-（\sqrt{13}）^{2}}{2×\sqrt{5}×\sqrt{7}}$=-$\frac{1}{2\sqrt{35}}$，
∴$\overrightarrow{PB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影为|$\overrightarrow{PB}$|cos∠BPC′=-$\sqrt{5}$×$\frac{1}{2\sqrt{35}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$

点评 本题考查向量的投影，涉及余弦定理和立体几何的知识，属中档题．