Question

17．已知圆C的圆心在（0，1），半径为1．直线l过点（0，3）垂直于y轴．
（Ⅰ）求圆C和直线l的参数方程；
（Ⅱ）过原点O作射线分别交圆C和直线l于M，N，求证|OM|•|ON|为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题可得圆C的普通方程，从而可得圆C的参数方程；由直线l过点（0，3）垂直于y轴，知直线l的普通方程，从而可得直线l的参数方程；                              
（Ⅱ）结合（Ⅰ）知圆C与直线l的极坐标方程，设极坐标为M（ρ₁，θ）、N（ρ₂，θ），则$|{OM}|•|{ON}|=|{ρ_1}|•|{ρ_2}|=|{2sinθ}|•|{\frac{3}{sinθ}}|=6$．

解答 （Ⅰ）解：∵圆C的圆心在（0，1），半径为1，
∴圆C的普通方程为：x²+（y-1）²=1，
所以圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）；
∵直线l过点（0，3）垂直于y轴，
∴直线l的普通方程为：y=3，
所以直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=3}\end{array}}\right.$（t为参数）；                              
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的极坐标方程为ρsinθ=3，
设M点的极坐标为（ρ₁，θ），N点的极坐标为（ρ₂，θ），
依题意有：ρ₁=2sinθ，ρ₂sinθ=3，
∴$|{OM}|•|{ON}|=|{ρ_1}|•|{ρ_2}|=|{2sinθ}|•|{\frac{3}{sinθ}}|=6$为定值．

点评 本题考查极坐标方程、参数方程以及直角坐标方程之间的相互转化，属于中档题．