Question

7．已知函数f（x）=sin2x-2sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期．
（2）由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$]，可求2x+$\frac{π}{4}$的范围，根据正弦函数的图象和性质可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）的范围，从而可求函数y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$]上的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x-（1-cos2x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1，
∴由三角函数的周期性及其求法可得函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，π]，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴y=f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1∈[-2，$\sqrt{2}-1$]，
∴函数y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$]上的值域是：[-2，$\sqrt{2}-1$]．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．