Question

2．△ABC中已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin²$\frac{B+C}{2}=1$．
（1）求角A的大小和BC的值；
（2）设M为△ABC外接圆的圆心，求$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由所给的等式利用二倍角的余弦公式求得cosA的值，可得A的值；再利用余弦定理求得BC的值．
（2）由（1）可得∠C=$\frac{π}{2}$，MC=1，AMC为等边三角形，$\overrightarrow{MC}$、$\overrightarrow{AB}$成的角为$\frac{2π}{3}$，再利用两个向量的数量积的定义求得 $\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{AB}$ 的值．

解答 解：（1）△ABC中已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin²$\frac{B+C}{2}=1$，
∴cos2A=1-2sin²（$\frac{B+C}{2}$）=cos（B+C）=-cosA，
∴2cos²A+cosA-1=0，求得cosA=-1或 cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=π （舍去）或A=$\frac{π}{3}$．
再利用余弦定理可得BC=$\sqrt{{AB}^{2}{+AC}^{2}-2AB•AC•cos∠A}$
=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$．
（2）由以上可得AC²+BC²=1+2=AB²，∴∠C=$\frac{π}{2}$．
根据M为△ABC外接圆的圆心，可得M为AB的中点，MC=1，AMC为等边三角形，
∴$\overrightarrow{MC}$、$\overrightarrow{AB}$成的角为$\frac{2π}{3}$，∴$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{MC}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos$\frac{2π}{3}$=1×2×（-$\frac{1}{2}$）=-1．

点评 本题主要考查二倍角的余弦公式，余弦定理，两个向量的数量积的定义，属于中档题．