Question

12．给定下列三个命题：
p₁：函数y=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）在R上为增函数；
p₂：?a，b∈R，a²-ab+b²＜0；
p₃：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z）
则下列命题中真命题为（　　）

• A． p₁∨p₂
• B． p₂∧p₃
• C． ￢p₂∧p₃
• D． p₁∨￢p₃

Answer 1

分析 p₁：当0＜a＜1时，函数y=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，即可判断出真假；
p₂：?a，b∈R，a²-ab+b²=$（a-\frac{1}{2}b）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}b）^{2}$≥0，即可判断出真假；
p₃：cosα=cosβ?α=2kπ±β（k∈Z），根据充要条件的定义即可判断出其关系．

解答 解：p₁：当0＜a＜1时，函数y=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，是假命题；
p₂：?a，b∈R，a²-ab+b²=$（a-\frac{1}{2}b）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}b）^{2}$≥0，因此不存在a，b∈R，a²-ab+b²＜0，是假命题；
p₃：cosα=cosβ?α=2kπ±β（k∈Z），因此cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z），是真命题．
因此p₁∨p₂，p₂∧p₃，p₁∨￢p₃是假命题；
￢p₂∧p₃是真命题．
故选：C．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、实数的性质、指数函数的单调性、三角函数的性质，考查了推理能力，属于基础题．