Question

5．A，B是半径为2的圆O上的两点，M是弦AB上的动点，若△AOB为直角三角形，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AM}$的最小值为$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，设出M的坐标，求出向量$\overrightarrow{OM}$与$\overrightarrow{AM}$的坐标表示，然后化简得到$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AM}$的函数，即可求出它的最小值．

解答 解：由于A，B是半径为2的圆O上的两点，△AOB为直角三角形，
则可建立如图所示的平面直角坐标系，得到O（0，0），A（2，0），B（0，2）
则直线AB的方程为：x+y=2，
由于M是弦AB上的动点，则可设M（x，2-x）（0＜x＜2）
则$\overrightarrow{OM}$=（x，2-x），$\overrightarrow{AM}$=（x-2，2-x），
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AM}$=x（x-2）+（2-x）²=2x²-6x+4，（0＜x＜2）
由于函数y=2x²-6x+4的图象开口向上，对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AM}$的最小值即为函数的最小值为-$\frac{1}{2}$，
故答案为：$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查向量数量积的应用，考查转化思想计算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算是解答本题的关键．