Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AD=2，AB=1，AC=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求直线MN与平面PAD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点E，连结NE，CE，可证MNEC为平行四边形，由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD．（其它证法酌情给分）
（Ⅱ）方法一：可证平面PAD⊥平面ABCD，过M作MF⊥AD，则MF⊥平面PAD，连结NF．则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角，解三角形可得解；
方法二：PA⊥AB，PA⊥AC，又可证AB⊥AC，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设平面PAD的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则设MN与平面PAD所成的角为θ，则由夹角公式即可求得MN与平面PAD所成角的正切值．

解答 解：（Ⅰ）证明：取PD中点E，连结NE，CE．∵N为PA中点，∴NE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，
又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$．
∴NE$\stackrel{∥}{=}$MC，即MNEC为平行四边形，…（4分）
∴MN∥CE∵EC?平面PCD，且MN?平面PCD，∴MN∥平面PCD．      …（7分）
（其它证法酌情给分）
（Ⅱ）方法一：∵PA⊥平面ABCD，PA?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
过M作MF⊥AD，则MF⊥平面PAD，连结NF．
则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角，…（10分）
由AB=1，$AC=\sqrt{3}$，AD=2，得AC⊥CD，
由AC•CD=AD•MF，得$MF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
在Rt△AMN中，AM=AN=1，得$MN=\sqrt{2}$．
在Rt△MNF中，$NF=\sqrt{M{N^2}-M{F^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，∴$tan∠MNF=\frac{MF}{FN}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{5}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
直线MN与平面PAD所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$． …（15分）
方法二：∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA⊥AC，
又∵AB=1，$AC=\sqrt{3}$，BC=AD=2，∴AB²+AC²=BC²，AB⊥AC．      …（9分）
如图，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
则$M（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，N（0，0，1），P（0，0，2），$D（-1，\sqrt{3}，0）$，∴$\overrightarrow{MN}=（-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，$\overrightarrow{AD}=（-1，\sqrt{3}，0）$，…（11分）
设平面PAD的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{AD}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}2z=0\\-x+\sqrt{3}y=0\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，1，0）$，…（13分）
设MN与平面PAD所成的角为θ，则$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{MN}，\overrightarrow n＞}|=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$$⇒tanθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，∴MN与平面PAD所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…（15分）

点评 本题主要考查了线与平面平行的判定，求直线MN与平面PAD所成角的正切值，关键在于熟练掌握平面垂直的性质与直线与平面平行的判定定理及其应用，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．