Question

18．已知O为△ABC的外心，AB=2，AC=4，cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则x+y=$\frac{31}{32}$．

Answer 1

分析 通过建立直角坐标系，利用相互垂直的直线斜率之间的关系、外心的性质可得外心O的坐标，再利用向量的坐标运算及其相等即可得出．

解答 解：如图，以A为原点，以AC所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），C（4，O），
∵cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，∴B （$\frac{2}{3}$，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线m：x=2上，又在AB的中垂线n上，
∵k_AB=$2\sqrt{2}$，AB的中点（$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
∴得到直线AC的垂直平分线n的斜率k_n=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，
其方程为：$y-\frac{2\sqrt{2}}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{4}（x-\frac{1}{3}）$，化简得$y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
将x=2代入上述方程可得：y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴外心O（2，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
∵$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴（2，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）=x（$\frac{2}{3}$，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）+y（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=\frac{2}{3}x+4y}\\{\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{4\sqrt{2}}{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{16}}\\{y=\frac{15}{32}}\end{array}\right.$．
∴x+y=$\frac{21}{32}$．
故答案为：$\frac{21}{32}$．

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、外心的性质、向量的坐标运算及其相等、平面向量基本定理，属于中档题．