Question

8．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，F分别是BB₁、AA₁、AC的中点，AC=BC，AB=$\sqrt{2}$AC．CD⊥C₁D．
（Ⅰ）求证：CD∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：平面BEF⊥平面A₁C₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接A₁C，可证平面A₁CD∥平面BEF，由面面平行的性质可证CD∥平面BEF．
（Ⅱ）依题意可证CD⊥平面A₁C₁D，由面面垂直的判定定理可得平面A₁CD⊥平面A₁C₁D，结合（Ⅰ）知平面A₁CD∥平面BEF，即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）连接A₁C
∵D、E、F分别是BB₁、AA₁、AC的中点
∴A₁D∥BF，A₁C∥EF
∵在平面A₁CD中A₁D∩A₁C=A₁，在平面BEF中BF∩EF=F，
∴平面A₁CD∥平面BEF，而CD?平面A₁CD
∴CD∥平面BEF                              …（6分）
（Ⅱ）依题意有AC⊥BC
∴A₁C₁⊥平面BCC₁B₁
∴A₁C₁⊥CD
∵CD⊥C₁D
∴CD⊥平面A₁C₁D，而CD?平面A₁CD
∴平面A₁CD⊥平面A₁C₁D
由（Ⅰ）知平面A₁CD∥平面BEF
∴平面BEF⊥平面A₁C₁D                      …（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，关键在于熟练掌握线面垂直的性质与直线与平面平行的判定定理及其应用，考查了空间想象能力和转化思想，属中档题．