Question

19．已知在△ABC中，AC=2，BC=3，cosA=-$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求AB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cosA的值求出sinA的值，再由AC与BC的长，利用正弦定理求出sinB的值即可；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，把AC，BC，cosA的值代入求出AB的长即可．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，cosA=-$\frac{4}{5}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
∵AC=2，BC=3，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴由正弦定理$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，得sinB=$\frac{ACsinA}{BC}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{5}$；
（Ⅱ）∵AC=2，BC=3，cosA=-$\frac{4}{5}$，
∴由余弦定理，得BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cosA，即9=4+AB²+$\frac{16}{5}$AB，
整理得：5AB²+16AB-25=0，
解得：AB=$\frac{-16±\sqrt{756}}{10}$，
则AB=$\frac{3\sqrt{21}-8}{5}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．