Question

11．设$\overrightarrow{p}$=（2，7），$\overrightarrow{q}$=（x，-3），则$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{q}$的夹角为钝角时x的取值范围为x＜$\frac{21}{2}$且x≠-$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，据数量积小于0求出x的范围，据共线向量的充要条件求出方向相反时x的范围，第一个范围去掉第二个范围即为所求

解答 解：∵$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{q}$的夹角为钝角，
∴$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$＜0即2x-21＜0
解得x＜$\frac{21}{2}$
当$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{q}$方向相反时，设$\overrightarrow{p}$=λ$\overrightarrow{q}$且λ＜0
∴（2，7）=（λx，-3λ）
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=λx}\\{7=-3λ}\end{array}\right.$
∴x=-$\frac{6}{7}$
∴x的范围为x＜$\frac{21}{2}$且x≠-$\frac{6}{7}$；
故答案为：x＜$\frac{21}{2}$且x≠-$\frac{6}{7}$；

点评 本题考查向量的数量积表示向量的夹角及向量共线的充要条件．