Question

2．已知等比数列{a_n}满足a_m•a_n=a²₃，则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由题意和等比数列的性质可得m和n均为正整数，且m+n=6，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵等比数列{a_n}满足a_m•a_n=a²₃，
∴m和n均为正整数，且m+n=6，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）
=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）
≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$）=$\frac{3}{2}$，
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$即m=2且n=4时取等号，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为：$\frac{3}{2}$
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及基本不等式求最值，属基础题．