Question

13．已知函数f（x）=sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合；
（Ⅲ）求f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件根据y=Asin（ωx+）的周期等于T=$\frac{2π}{ω}$，可得结论．
（Ⅱ）根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合．
（Ⅲ）根据正弦函数的增区间求得求出f（x）的增区间，再结合x∈[0，2π]，进一步确定f（x）的单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2x的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
（Ⅱ）由函数的解析式可得函数f（x）的最大值为1，f（x）取最大值时x的集合为{x|x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z}．
（Ⅲ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈z．
再结合x∈[0，2π]，可得函数的单调递增区间为[0 $\frac{π}{4}$，]、[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]、[$\frac{7π}{4}$，2π]．

点评 本题主要考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的值域以及单调性，属于中档题．