Question

8．若0＜x＜$\frac{1}{2}$，则x²（1-2x）有（　　）

• A． 最小值$\frac{1}{27}$
• B． 最大值$\frac{1}{27}$
• C． 最小值$\frac{1}{3}$
• D． 最大值$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 记f（x）=x²（1-2x），求其导函数，讨论0＜x＜$\frac{1}{2}$时，函数f（x）的单调性即可．

解答 解：记f（x）=x²（1-2x）=-2x³+x²，
则f′（x）=-6x²+2x=-2x（3x-1），
令f′（x）=0，则x=0或$\frac{1}{3}$，
显然当$0＜x＜\frac{1}{3}$时，f（x）单调递增，当$\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{2}$时，f（x）单调递减，
故当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，函数f（x）有最大值：$f（\frac{1}{3}）$=$（\frac{1}{3}）^{2}×（1-2×\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{27}$，
故选：B．

点评 本题考查利用导数求单调性，进而求最值，属于基础题．