Question

3．已知f（x）与g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g'（x），f（x）=a^x•g（x），$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{{f（{-1}）}}{{g（{-1}）}}$=$\frac{5}{2}$，有穷数列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n=1，2，…，8）中，任意取前k项相加，则前k项和大于$\frac{15}{16}$的概率等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意和商的导数易得0＜a＜1，进而可得{$\frac{f（n）}{g（n）}$}是以$\frac{f（1）}{g（1）}$=$\frac{1}{2}$为首项，q=$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，由求和公式可得k＞4，由概率公式可得．

解答 解：由题意可得[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g'（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
∴$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x单调递减，∴0＜a＜1，
又∵$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{{f（{-1}）}}{{g（{-1}）}}$=$\frac{5}{2}$，∴a+a^-1=$\frac{5}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$，或a=2（舍去），∴$\frac{f（x）}{g（x）}$=（$\frac{1}{2}$）^x，
∴共8项的有穷数列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}是以$\frac{f（1）}{g（1）}$=$\frac{1}{2}$为首项，q=$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴数列的前k项和为$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{k}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）^k，
令1-（$\frac{1}{2}$）^k＞$\frac{15}{16}$，可解得k＞4，
∴所求概率P=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查古典概型及其概率公式，涉及函数的导数和单调性以及等比数列的求和公式，属中档题．