Question

3．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足$\sqrt{{x^2}+{y^2}+2x+1}+\sqrt{{x^2}+{y^2}-2x+1}≤2\sqrt{2}$，则$\sqrt{2}$a+b取值范围为（　　）

• A． （0，2]
• B． [1，2]
• C． [1，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），对x，y分类讨论．画出图象：表示菱形ABCD．由$\sqrt{{x^2}+{y^2}+2x+1}+\sqrt{{x^2}+{y^2}-2x+1}≤2\sqrt{2}$，即$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$$≤2\sqrt{2}$．设M（-1，0），N（1，0），可得：2|PM|≤2$\sqrt{2}$，|BD|≤2$\sqrt{2}$，解出即可．

解答 解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），
当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax-by=1；当x≤0，y≥0时，化为-ax+by=1；当x≤0，y≤0时，
化为-ax-by=1．画出图象：表示菱形ABCD．
由$\sqrt{{x^2}+{y^2}+2x+1}+\sqrt{{x^2}+{y^2}-2x+1}≤2\sqrt{2}$，
即$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$$≤2\sqrt{2}$．
设M（-1，0），N（1，0），
则2|PM|≤2$\sqrt{2}$，|BD|≤2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{b}^{2}}}$$≤\sqrt{2}$，$\frac{2}{a}$$≤2\sqrt{2}$，
解得b≥1，$\sqrt{2}a≥1$，
∴$\sqrt{2}$a+b≥1+1=2．
∴$\sqrt{2}$a+b取值范围为[2，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了直线方程、分类讨论思想方法、两点之间的距离公式，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．