Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），b₁=2，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （I）通过S_n=2a_n-1，推出a_n=2a_n-1，然后求解${a_n}={2^{n-1}}$．
（II）利用体积推出${b_{n+1}}-{b_n}={2^{n-1}}$，利用累加求出通项公式${b_n}={2^{n-1}}+1$．

解答 （共13分）
解：（I）因为S_n=2a_n-1（n=1，2，…），
则S_n-1=2a_n-1-1（n=2，3，…），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
整理得a_n=2a_n-1，
由S_n=2a_n-1，令n=1，得a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
所以{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，可得${a_n}={2^{n-1}}$（6分）
（II）因为${a_n}={2^{n-1}}$，
由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），得${b_{n+1}}-{b_n}={2^{n-1}}$，
由累加得b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=$2+\frac{{1-{2^{n-1}}}}{1-2}={2^{n-1}}+1，\;\;（{n≥2}）$，
当n=1时也满足，所以${b_n}={2^{n-1}}+1$．（13分）

点评 本题考查数列求和，累加法的应用，考查计算能力．