Question

2．已知椭圆W：$\frac{x^2}{2m+10}+\frac{y^2}{{{m^2}-2}}$=1的左焦点为F（m，0），过点M（-3，0）作一条斜率大于0的直线l与W交于不同的两点A、B，延长BF交W于点C．
（Ⅰ）求椭圆W的离心率；
（Ⅱ）求证：点A与点C关于x轴对称．

Answer 1

分析 （I）利用已知条件求出m值．得到椭圆的方程．求出离心率．
（II）设直线l的方程为y=k（x+3）．联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x+3}）\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$利用判别式求出k的范围，设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），结合韦达定理求出设点A关于x轴的对称点为C′，则C′（x₁，-y₁），推出$\overrightarrow{FC′}=（{{x_1}+2，\;\;-{y_1}}）$，$\overrightarrow{FB}=（{{x_2}+2，\;\;{y_2}}）$．共线即可．

解答 （共13分）
解：（I）由题意（2m+10）-（m²-2）=m²（m＜0），
解得m=-2．
所以椭圆$W：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．（5分）

（II）设直线l的方程为y=k（x+3）．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x+3}）\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$
得（1+3k²）x²+18k²x+27k²-6=0．
由直线l与椭圆W交于A、B两点，可知
△=（18k²）²-4（1+3k²）（27k²-6）＞0，解得${k^2}＜\frac{2}{3}$．
设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{{-18{k^2}}}{{1+3{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{27{k^2}-6}}{{1+3{k^2}}}$，y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．
因为F（-2，0），设点A关于x轴的对称点为C′，则C′（x₁，-y₁），
所以$\overrightarrow{FC′}=（{{x_1}+2，\;\;-{y_1}}）$，$\overrightarrow{FB}=（{{x_2}+2，\;\;{y_2}}）$．
又因为（x₁+2）y₂-（x₂+2）（-y₁）=（x₁+2）k（x₂+3）+（x₂+2）k（x₁+3）=k[2x₁x₂+5（x₁+x₂）+12]=$k[{\frac{{54{k^2}-12}}{{1+3{k^2}}}+\frac{{-90{k^2}}}{{1+3{k^2}}}+12}]$=$\frac{{k（{54{k^2}-12-90{k^2}+12+36{k^2}}）}}{{1+3{k^2}}}=0$，
所以B，F，C′共线，从而C与C′重合，故点A与点C关于x轴对称．（13分）

点评 本题考查椭圆与直线的综合应用，向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．