Question

11．设函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，且函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2
（1）求函数f（x）的解析式
（2）若对任意x∈（0，3]都有f（x）≤mx+16成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求a，b，c的值，可由函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，且函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2转化为方程解出a，b，c的值；
（2）若对任意x∈（0，3]都有f（x）≤mx+16成立，可先将问题转化为m≥-x²-$\frac{16}{x}$+6对任意x∈（0，3]恒成立，运用导数求得右边函数的最大值，即可求出参数m的取值范围来．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∵a（-x）³+b（-x）+c=-（ax³+bx+c），
∴c=0．                                       
又f（x）在x=1处的切线方程为y=3x+2，
由f'（x）=3ax²+b，
∴f'（1）=3，且f（1）=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=3}\\{a+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$．
即有f（x）=-x³+6x；                        
（2）若对任意x∈（0，3]都有f（x）≤mx+16成立，
即为m≥-x²-$\frac{16}{x}$+6，对任意x∈（0，3]恒成立．
记g（x）=-x²-$\frac{16}{x}$+6，其中x∈（0，3]，则 g′（x）=-2x+$\frac{16}{{x}^{2}}$=-$\frac{2（{x}^{3}-8）}{{x}^{2}}$．
∴当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，2）上单调递增，
当x∈（2，3）时，g'（x）＜0，g（x）在（2，3）上单调递减，
∴g（x）在（0，3]上的最大值是g（2）=-6，则m≥-6．    
可得所求实数m的取值范围是[-6，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，同时考查恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．