Question

3．已知点F（0，$\frac{1}{4}$），动点P在直线l₁：y=-$\frac{1}{4}$上，线段PF的垂直平分线与直线l₁的过点P的垂线交于点M．
（1）求M点轨迹C的方程；
（2）过点E（a，-2）（a＞0）作轨迹C的切线，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且以点E为圆心的圆E与直线AB相切，问圆E的半径是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意，M到F的距离等于直线l₁的距离，可得M点轨迹是以点F（0，$\frac{1}{4}$）为焦点，直线l₁：y=-$\frac{1}{4}$为准线的抛物线，即可求M点轨迹C的方程；
（2）求出y=x²的导数，通过直线EA与曲线C相切，利用斜率相等，推出x₁，x₂为方程x²-2ax-2=0两个根，可得2a，x₁•x₂=-2，求出AB的斜率，AB的方程，利用点E到直线AB的距离即为圆E的半径，求出r的表达式，利用换元法与基本不等式，求出r的最小值．

解答 解：（1）由题意，M到F的距离等于直线l₁的距离，
∴M点轨迹是以点F（0，$\frac{1}{4}$）为焦点，直线l₁：y=-$\frac{1}{4}$为准线的抛物线，
∴M点轨迹C的方程为x²=y；
（2）由y=x²可得，y′=2x．∵直线EA与曲线C相切，且过点E（a，-2），
∴$2{x}_{1}=\frac{{{x}_{1}}^{2}+2}{{x}_{1}-a}$，即x₁²-2ax₁-2=0，同理x₂²-2ax₂-2=0，
∴x₁，x₂为方程x²-2ax-2=0两个根，
因此x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-2，
则直线AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=x₁+x₂=2a．
∴直线AB的方程为：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），
又y₁=x₁²，∴y-x₁²=（x₁+x₂）x-x₁²-x₁x₂，即2ax-y+2=0．
∵点E到直线AB的距离即为圆E的半径，即r=$\frac{|2{a}^{2}+4|}{\sqrt{4{a}^{2}+1}}$，
设4a²+1=t，t≥1，则r²=$\frac{\frac{（t+7）^{2}}{4}}{t}$=$\frac{1}{4}$×（t+$\frac{49}{t}$+14）≥7，
当且仅当t=7时，等号成立，即圆E的半径最小值为$\sqrt{7}$．

点评 本题是中档题，考查抛物线的定义与方程，考查直线与圆的位置关系，函数的导数的性质，基本不等式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想，换元法．