Question

2．已知x＞0，对于任意x有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 x＞0，对于任意x有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立?$a≥（\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}）_{max}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x＞0，对于任意x有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立?$a≥（\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}）_{max}$，
∵x＞0，∴$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$$≤\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}+3}$=$\frac{1}{5}$．当且仅当x=1时取等号．
∴$a≥\frac{1}{5}$．
∴实数a的取值范围是$[\frac{1}{5}，+∞）$．

点评 本题考查了恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．