Question

17．已知实数x、y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-1≤0}\\{3x-y+1≥0}\end{array}\right.$，求z=2x+y的取值范围．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（1，4），
代入目标函数z=2x+y得z=2×1+4=6．
即目标函数z=2x+y的最大值为6．
当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{3x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（0，1），
代入目标函数z=2x+y得z=2×0-1=-1．
即目标函数z=2x+y的最小值为-1．
目标函数z=2x+y的取值范围是[-1，6]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．