Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：ax²-y²=1（a＞0）
（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐近线的平行线，若该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积不超过$\frac{\sqrt{2}}{8}$，求实数a的取值范围
（2）设斜率为1的直线l交C₁于P，Q两点，若l与圆x²+y²=1相切且$\overrightarrow{OP}$$⊥\overrightarrow{OQ}$，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）求得双曲线C₁的左顶点A，设过点A与一条渐近线平行的直线方程，由此能求出该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积，由条件即可解得a的范围；
（2）设直线PQ的方程是y=x+b，直线PQ与已知圆相切，得b²=2，联立直线方程和双曲线方程，由此利用韦达定理结合已知条件，运用向量垂直的条件即可求得a．

解答 解：（1）双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{a}}$-y²=1，左顶点A（-$\frac{1}{\sqrt{a}}$，0），渐近线方程y=±$\sqrt{a}$x，
过点A与渐近线y=$\sqrt{a}$x平行的直线方程为y=$\sqrt{a}$（x+$\frac{1}{\sqrt{a}}$），即y=$\sqrt{a}$x+1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{a}x}\\{y=\sqrt{a}x+1}\end{array}\right.$，得x=-$\frac{1}{2\sqrt{a}}$，y=$\frac{1}{2}$．
∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{a}}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4\sqrt{a}}$，
由S≤$\frac{\sqrt{2}}{8}$，解得a≥2；
（2）设直线PQ的方程是y=x+b，
∵直线PQ与已知圆相切，∴$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=1，解得b²=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{a{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（a-1）x²-2bx-b²-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{2b}{a-1}$，x₁x₂=$\frac{-1-{b}^{2}}{a-1}$，
又y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b），
由$\overrightarrow{OP}$$⊥\overrightarrow{OQ}$，∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=2•$\frac{-1-{b}^{2}}{a-1}$+2b²•$\frac{1}{a-1}$+b²=0，
即为-2-4+4+2（a-1）=0，解得a=2，
即有双曲线的方程为2x²-y²=1．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量垂直的条件：数量积为0，属于中档题．