Question

11．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$表示离心率大于$\sqrt{5}$的双曲线的概率为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 当方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$表示离心率大于$\sqrt{5}$的双曲线，表示焦点在x轴上且离心率大于$\sqrt{5}$的双曲线时，计算出（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解即可．

解答 解：∵方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$表示离心率大于$\sqrt{5}$的双曲线，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$＞$\sqrt{5}$，
∴b＞2a，
它对应的平面区域如图中阴影部分所示：
则方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$表示离心率大于$\sqrt{5}$的双曲线的概率为：
P=$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{矩形}}$=$\frac{\frac{1}{2}×2×1}{2×4}$=$\frac{1}{8}$，
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查几何概型的概率的求法，属于中档题．